Torsion und Biegung

Torsion und Biegung sind die beiden Belastungsarten, bei denen ein Bauteil verdreht oder durchgebogen wird. Der Rahmenplan nennt sie unter 5.3.3 zusammen mit Zug, Druck, Abscherung und Flächenpressung im Themenbereich Betriebs- und fertigungstechnische Größen berechnen. Wellen werden verdreht, Träger, Hebel und Achsen werden gebogen.

Diese Seite ist die kürzeste des Themenbereichs. In den ausgewerteten Prüfungen kam bisher keine eigene Aufgabe dazu vor. Du solltest die Begriffe und die Grundformeln trotzdem kennen, weil der Rahmenplan beide Belastungsarten ausdrücklich nennt.

📘 Auf einen Blick

MerkmalInformation
PrüfungsteilFachrichtungsübergreifende Basisqualifikationen
PrüfungsbereichBerücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten (NTG)
ThemenbereichBetriebs- und fertigungstechnische Größen berechnen
ThemaTorsion und Biegung (Rahmenplan 5.3.3)
Prüfungsrelevanz⭐⭐ Gering
DatengrundlageDIHK-Rahmenplan und Auswertung von 37 Originalprüfungen der IHK
Art der PrüfungBegriffe erklären, einfache Spannungen mit Formelsammlung berechnen
Lernziel laut RahmenplanDie verformende Wirkung von Torsion und Biegung verstehen und Spannungen berechnen
Empfohlene LernprioritätGering bis mittel
VertiefungLernmodul in der KVM-Akademie (nach Veröffentlichung verfügbar)

Warum sind Torsion und Biegung wichtig?

Fast jedes Bauteil im Betrieb wird auf Biegung oder Verdrehung belastet. Eine Welle überträgt das Drehmoment des Motors und wird dabei verdreht. Ein Regalträger, eine Gabelzinke oder ein Kranausleger trägt eine Last und biegt sich durch. Ob das ohne bleibende Verformung geht, hängt vom Querschnitt ab.

Für den Industriemeister ist das Grundwissen wichtig, um Schäden zu verstehen. Ein verdrehter Wellenstumpf oder eine verbogene Gabelzinke sind Zeichen für eine Überlastung. Wer die Zusammenhänge kennt, versteht auch, warum Träger hochkant eingebaut werden und Wellen einen bestimmten Mindestdurchmesser brauchen.

Einordnung innerhalb des Rahmenlehrplans

Basisqualifikation
└── Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten (NTG)
    └── 5.3 Berechnen betriebs- und fertigungstechnischer Größen bei Belastungen und Bewegungen
        └── 5.3.3 Zug, Druck, Torsion, Biegung, Abscherung und Flächenpressung
            ├── Torsion
            └── Biegung

Der Rahmenplan nennt Torsion und Biegung im Titel von 5.3.3. In den Hinweisen stehen aber vor allem die Zug-, Druck- und Scherspannung sowie die Flächenpressung. Rechne deshalb zuerst die Seiten Zug- und Druckbeanspruchung und Abscherung und Flächenpressung sicher durch. Diese Seite zeigt, wie das Prinzip Spannung gleich Belastung durch Widerstand auf Torsion und Biegung übergeht.

Prüfungsrelevanz

⭐⭐ Geringe Prüfungsrelevanz

Das Thema gehört zum Rahmenplanpunkt 5.3.3 (Zug, Druck, Torsion, Biegung, Abscherung und Flächenpressung). Dieser kam in 20 von 37 Prüfungen vor, seit 2020 in 6 von 13. Die vorgekommenen Aufgaben betrafen Zug, Abscherung und Flächenpressung. Torsion und Biegung kamen in den ausgewerteten Prüfungen bisher nicht als eigene Aufgabe vor.

Wenn eine Frage dazu gestellt wird, kann sie zum Beispiel verlangen,

  • die Belastungsart eines Bauteils zu benennen,
  • die Stellen mit der größten Spannung im Querschnitt zu beschreiben,
  • eine Spannung mit gegebenem Widerstandsmoment zu berechnen,
  • zu erklären, warum ein hochkant eingebauter Träger mehr trägt.

Zur Prüfungsanalyse NTG

Was lernst du auf dieser Seite?

Nach dem Lesen dieser Seite kannst du:

  • Torsion und Biegung beschreiben und von Zug und Scherung abgrenzen,
  • erklären, wo im Querschnitt die größte Spannung auftritt,
  • das Biegemoment für einfache Fälle bestimmen,
  • Torsionsspannung und Biegespannung mit dem Widerstandsmoment berechnen,
  • die Wirkung der Querschnittsform erklären.

Torsion: das Verdrehen einer Welle

Ein Drehmoment, das eine Welle um ihre Längsachse verdreht, heißt Torsionsmoment T. Es wirkt zum Beispiel zwischen dem Motor und der Last. Der Querschnitt wird dabei in sich verdreht. Die Fasern am Rand werden am stärksten verschoben, in der Mitte ist die Verschiebung null.

Daraus folgt der Spannungsverlauf: Die Torsionsspannung τ_t ist in der Wellenachse null und nimmt nach außen linear zu. Am Rand ist sie am größten. Sie ist eine Schubspannung, wirkt also wie die Scherspannung in der Querschnittsfläche. Die Berechnung geschieht mit dem polaren Widerstandsmoment W_p:

τ_t = T / W_p

Für eine Vollwelle mit dem Durchmesser d ist W_p = π · d³ / 16. Bei der Rechnung gilt: Das Moment muss in Nmm stehen, wenn das Widerstandsmoment in mm³ und das Ergebnis in N/mm² verlangt sind. 1 Nm = 1.000 Nmm. Der Durchmesser geht in der dritten Potenz ein: Wird er verdoppelt, wächst die tragbare Belastung auf das Achtfache.

Biegung: das Durchbiegen eines Trägers

Eine Querkraft, die einen Träger belastet, erzeugt ein Biegemoment M_b. Der Träger biegt sich durch. Auf der einen Seite werden die Fasern gedehnt, auf der anderen gestaucht. Dazwischen liegt die neutrale Faser, in der keine Spannung herrscht.

Die Biegespannung σ_b ist in der neutralen Faser null und nimmt zu den Rändern zu. An der Außenseite der Zugzone herrscht die größte Zugspannung, an der gegenüberliegenden Seite die größte Druckspannung. Berechnet wird sie mit dem axialen Widerstandsmoment W:

σ_b = M_b / W

Das Biegemoment hängt von der Lagerung ab. Zwei einfache Fälle genügen für die Grundlagen:

Fallgrößtes Biegemoment
Kragträger (einseitig eingespannt), Einzelkraft F am freien Ende, Länge lM_b = F · l (an der Einspannung)
Träger auf zwei Stützen, Einzelkraft F in der Mitte, Stützweite lM_b = F · l / 4 (in der Mitte)

Die Widerstandsmomente einfacher Querschnitte:

QuerschnittWiderstandsmoment W
Rechteck (Breite b, Höhe h in Kraftrichtung)b · h² / 6
Vollkreis (Durchmesser d)π · d³ / 32

Die Höhe geht quadratisch ein. Ein Rechteckprofil 20 mm mal 40 mm hat hochkant (Höhe 40 mm) W = 20 · 40² / 6 = 5.333 mm³, flach liegend nur W = 40 · 20² / 6 = 2.667 mm³. Hochkant trägt es doppelt so viel, bei gleichem Werkstoff und gleichem Gewicht.

Die Beurteilung läuft wie bei Zug: Die berechnete Spannung darf die zulässige Spannung nicht überschreiten. Die zulässige Spannung folgt aus der Grenze des Werkstoffs und der Sicherheitszahl, siehe Zug- und Druckbeanspruchung.

Rechenbeispiel: Biegespannung und Torsionsspannung

a) Biegung eines Kragarms

Gegeben: Rundstahl d = 30 mm, freie Länge l = 400 mm, Einzelkraft F = 800 N am freien Ende

Gesucht: Biegespannung an der Einspannung

Formeln: M_b = F · l, W = π · d³ / 32, σ_b = M_b / W

Einsetzen und Rechnen:

  1. Biegemoment: M_b = 800 N · 400 mm = 320.000 Nmm
  2. Widerstandsmoment: W = π · (30 mm)³ / 32 = 2.650,7 mm³
  3. Biegespannung: σ_b = 320.000 Nmm / 2.650,7 mm³ = 120,7 N/mm²

b) Torsion einer Welle

Gegeben: Vollwelle d = 25 mm, Torsionsmoment T = 120 Nm = 120.000 Nmm

Gesucht: Torsionsspannung am Rand

Formeln: W_p = π · d³ / 16, τ_t = T / W_p

Einsetzen und Rechnen:

  1. Polares Widerstandsmoment: W_p = π · (25 mm)³ / 16 = 3.068,0 mm³
  2. Torsionsspannung: τ_t = 120.000 Nmm / 3.068,0 mm³ = 39,1 N/mm²

Ergebnis: Die Biegespannung beträgt etwa 120,7 N/mm², die Torsionsspannung etwa 39,1 N/mm² (gerundet). Beide Werte werden mit der zulässigen Spannung des Werkstoffs verglichen.

Schaubild Torsion und Biegung: links ein Kragarm mit Zugzone, Druckzone und neutraler Faser, Biegespannung 120,7 Newton pro Quadratmillimeter, rechts eine verdrehte Welle mit der Torsionsspannung 39,1 Newton pro Quadratmillimeter, die zum Rand hin zunimmt
Bei Biegung und Torsion ist die Spannung außen am größten. In der neutralen Faser beziehungsweise in der Wellenachse ist sie null.

Typische Fehler

  • Das Moment steht in Nm, das Widerstandsmoment in mm³. Das Ergebnis ist dann um den Faktor 1.000 falsch.
  • Das Widerstandsmoment wird mit dem Flächenmoment oder der Querschnittsfläche verwechselt.
  • Beim Rechteck wird die falsche Seite quadriert. Quadriert wird die Höhe in Kraftrichtung.
  • Torsion (polares Widerstandsmoment, d³ / 16) und Biegung (axiales Widerstandsmoment, d³ / 32) werden vermischt.
  • Die Spannung wird im Querschnitt als gleichmäßig verteilt angenommen. Bei Zug ist sie das, bei Biegung und Torsion nicht.
  • Beim Kragträger wird der falsche Hebelarm genommen. Gemessen wird bis zur Einspannstelle.

Praxisbeispiel

Ein Querträger aus Flachstahl 40 mm mal 10 mm liegt auf zwei Auflagern mit 600 mm Stützweite. In der Mitte hängt eine Last von 500 N. Das Biegemoment ist M_b = 500 N · 600 mm / 4 = 75.000 Nmm.

Hochkant eingebaut (Höhe 40 mm) ist W = 10 · 40² / 6 = 2.667 mm³ und σ_b = 75.000 Nmm / 2.667 mm³ = 28,1 N/mm². Flach eingebaut (Höhe 10 mm) ist W = 40 · 10² / 6 = 667 mm³ und σ_b = 112,5 N/mm². Dieselbe Last belastet den Träger flach also viermal so stark.

Der Industriemeister erkennt daran bei der Montage, warum Träger nach Vorgabe eingebaut werden müssen.

Typische Prüfungsfragen

In den IHK-Prüfungen können beispielsweise folgende Anforderungen auftreten:

  • Nennen Sie die Belastungsart, der eine Antriebswelle ausgesetzt ist.
  • Beschreiben Sie, an welcher Stelle des Querschnitts die Biegespannung am größten ist.
  • Berechnen Sie das Biegemoment an einem Kragträger mit gegebener Kraft und Länge.
  • Berechnen Sie die Biegespannung bei gegebenem Biegemoment und Widerstandsmoment.
  • Berechnen Sie die Torsionsspannung einer Welle aus Drehmoment und Durchmesser.
  • Begründen Sie, warum ein Träger hochkant mehr trägt als flach.
  • Erläutern Sie den Unterschied zwischen Abscherung und Torsion.

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Rechtsgrundlage

Die Qualifikationsinhalte des Prüfungsbereichs stehen in der Prüfungsverordnung der jeweiligen Fachrichtung, für Geprüfte Industriemeister Metall zum Beispiel in § 4 Absatz 6.

Prüfungsverordnung Geprüfter Industriemeister Metall, § 4 (Gesetze im Internet)

Fazit

Torsion verdreht, Biegung krümmt. In beiden Fällen ist die Spannung außen am größten und in der Mitte, an der Achse oder neutralen Faser, null. Berechnet wird sie als Moment geteilt durch Widerstandsmoment. Das Widerstandsmoment hängt von Form und Größe des Querschnitts ab.

Für die Prüfung solltest du die beiden Belastungsarten unterscheiden und die Spannungsverteilung beschreiben können. Wenn das Widerstandsmoment gegeben ist, solltest du die Spannung mit Gegeben, Gesucht, Formel, Einsetzen und Ergebnis mit Einheit berechnen können, und dabei Nmm und mm³ passend führen.