Längen- und Volumenänderung – NTG Industriemeister IHK

Die Längen- und Volumenänderung durch Wärme folgt einem einfachen Gesetz: Wird ein Körper wärmer, dehnt er sich aus, wird er kälter, zieht er sich zusammen. Das betrifft Rohrleitungen, Schienen, Messmittel, Behälter und Passungen. Rechnen musst du dabei mit wenigen Formeln.

Auf dieser Seite lernst du die Formeln für Länge, Fläche und Volumen, die typischen Koeffizienten und den Rechenweg. Zwei durchgerechnete Beispiele zeigen, wie du die Längenänderung und die nötige Erwärmung für eine Schrumpfverbindung bestimmst.

📘 Auf einen Blick

Merkmal	Information
Prüfungsteil	Fachrichtungsübergreifende Basisqualifikationen
Prüfungsbereich	Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten (NTG)
Themenbereich	Auswirkungen von Gesetzmäßigkeiten auf Materialien, Maschinen und Prozesse
Thema	Temperatureinfluss auf Materialien: Längenänderung und Volumenänderung durch Wärme (Rahmenplan 5.1.3)
Prüfungsrelevanz	⭐⭐⭐ Mittel
Datengrundlage	DIHK-Rahmenplan und Auswertung von 37 Originalprüfungen der IHK
Art der Prüfung	Berechnen mit Formelsammlung: Längenänderung oder Volumenänderung bei Temperaturänderung
Lernziel laut Rahmenplan	Maß- und Zustandsveränderungen durch Temperatur auf Materialien und Arbeitsprozesse berücksichtigen
Empfohlene Lernpriorität	Mittel
Vertiefung	Lernmodul in der KVM-Akademie (nach Veröffentlichung verfügbar)

Warum ist die Wärmeausdehnung wichtig?

Temperaturunterschiede gibt es im Betrieb überall: Hallen kühlen im Winter aus, Maschinen laufen warm, Rohre führen Heißwasser. Die Maße ändern sich dabei messbar. Wird das nicht eingeplant, entstehen Spannungen, Risse oder Undichtigkeiten.

Als Industriemeister musst du wissen,

wie stark sich ein Bauteil bei einer bestimmten Temperaturänderung verändert,
wo Ausgleich nötig ist, etwa durch Dehnungsfugen,
warum Werkstücke bei der Bezugstemperatur gemessen werden,
wie die Wärmeausdehnung gezielt genutzt wird.

Einordnung innerhalb des Rahmenlehrplans

Fachrichtungsübergreifende Basisqualifikationen
└── Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten (NTG)
    └── 5.1 Auswirkungen von Gesetzmäßigkeiten auf Materialien, Maschinen und Prozesse
        └── 5.1.3 Auswirkungen des Temperatureinflusses auf Materialien und Arbeitsprozesse
            ├── Maß- und Zustandsveränderungen
            ├── Messverfahren
            ├── Längenänderung
            └── Volumenänderung

Der Rahmenplan nennt unter 5.1.3 die Maß- und Zustandsveränderungen durch Temperatur. Als Hinweise stehen Messverfahren, Längenänderung und Volumenänderung sowie die Änderung des Aggregatzustands. Die Wärmemenge und die Aggregatzustände behandelt die Seite Wärmemenge und Aggregatzustände. Das Lernziel ist, die Einflüsse zu berücksichtigen, in der Prüfung heißt das meist: berechnen.

Prüfungsrelevanz

⭐⭐⭐ Mittlere Prüfungsrelevanz

Das Thema gehört zum Rahmenplanpunkt 5.1.3. Dieser kam in 25 von 37 Prüfungen vor, seit 2020 in 9 von 13. Gefragt wird fast immer eine Rechenaufgabe mit Formelsammlung. Die Längenänderung bei Erwärmung oder Abkühlung und die Volumenänderung von Flüssigkeiten kommen besonders oft vor.

In den ausgewerteten Prüfungen wurde zum Beispiel verlangt,

die Längenänderung eines Bauteils bei einer Temperaturänderung zu berechnen,
die Endlänge oder einen nötigen Spalt zu ermitteln,
die Volumenänderung einer Flüssigkeit in einem Behälter zu berechnen,
das Volumen eines Körpers zu bestimmen und danach die Ausdehnung zu berechnen,
zu prüfen, ob ein Maß nach der Temperaturänderung noch eingehalten wird,
die Berührungstemperatur oder den Durchhang bei Temperaturänderung zu bestimmen.

Zur Prüfungsanalyse NTG

Was lernst du auf dieser Seite?

Nach dem Lesen dieser Seite kannst du:

die Ursache der Wärmeausdehnung zu erklären,
die Längenänderung mit ΔL = α · L₀ · ΔT zu berechnen,
Koeffizienten aus einer Tabelle zu entnehmen,
die Volumenänderung von Festkörpern und Flüssigkeiten zu berechnen,
die Folgen für Bauteile und Messungen zu beurteilen,
Maßnahmen wie Dehnungsfugen und Schrumpfverbindungen zu erklären.

Warum dehnen sich Körper aus?

Die Teilchen eines Stoffes schwingen. Bei höherer Temperatur schwingen sie stärker und brauchen mehr Platz. Der Abstand zwischen den Teilchen wächst, der Körper dehnt sich aus. Bei Abkühlung ist es umgekehrt. Die Temperaturdifferenz ΔT = ϑ₂ − ϑ₁ in Kelvin hat dieselbe Zahl wie in Grad Celsius.

Längenänderung fester Körper

Größe	Zeichen	Einheit
Längenänderung	ΔL	m oder mm
Ausgangslänge	L₀	m oder mm
Temperaturdifferenz	ΔT	K
Längenausdehnungskoeffizient	α	1/K

ΔL = α · L₀ · ΔT

L = L₀ + ΔL = L₀ · (1 + α · ΔT)

Wird das Bauteil kälter, ist ΔT negativ, und ΔL wird ebenfalls negativ. Das Bauteil wird kürzer. Der Koeffizient α sagt, um welchen Bruchteil sich ein Stoff je Kelvin verlängert. Er ist werkstoffabhängig. Die Werte stehen in der Formelsammlung bzw. Tabelle der Aufgabe.

Werkstoff	α in 10⁻⁶ 1/K	ΔL eines 1 m langen Stabs bei 100 K in mm
Stahl	12	1,20
Kupfer	16,5	1,65
Messing	18,5	1,85
Aluminium	23	2,30

Durchgerechnetes Beispiel: Stahlrohrleitung

Eine 40 m lange Rohrleitung aus Stahl verläuft im Freien. Im Winter hat sie bei Stillstand −10 °C, im Betrieb wird sie 60 °C warm. Du sollst die Längenänderung berechnen.

Gegeben: L₀ = 40 m, α = 12 · 10⁻⁶ 1/K, ϑ₁ = −10 °C, ϑ₂ = 60 °C

Gesucht: ΔL

Schritt 1: ΔT = 60 °C − (−10 °C) = 70 K

Formel: ΔL = α · L₀ · ΔT

Einsetzen: ΔL = 12 · 10⁻⁶ 1/K · 40 m · 70 K = 0,0336 m

Ergebnis: Die Leitung wird um 0,0336 m = 33,6 mm länger. Das muss ein Dehnungsausgleich aufnehmen.

Flächen- und Volumenänderung

Bei der Fläche wirkt die Ausdehnung in zwei Richtungen. Für kleine Temperaturänderungen gilt:

ΔA = 2 · α · A₀ · ΔT

Beim Volumen wirkt sie in drei Richtungen. Der Raumausdehnungskoeffizient γ beträgt bei festen Körpern etwa das Dreifache von α:

ΔV = γ · V₀ · ΔT und γ ≈ 3 · α

Flüssigkeiten haben eigene Werte für γ. Sie sind deutlich größer als bei Festkörpern.

Stoff	γ in 1/K
Hydrauliköl	rund 0,0007
Wasser (bei etwa 20 °C)	rund 0,0002

Wasser verhält sich ungewöhnlich: Es hat bei 4 °C die größte Dichte und dehnt sich beim Gefrieren stark aus. Deshalb können gefrorene Leitungen platzen. Gase dehnen sich noch stärker aus, bei gleichem Druck um etwa 1/273 ihres Volumens je Kelvin.

Beispiel: Ölbehälter

Ein Behälter fasst 250 l Hydrauliköl bei 20 °C. Das Öl erwärmt sich auf 60 °C.

Gegeben: V₀ = 250 l, γ = 0,0007 1/K, ΔT = 60 °C − 20 °C = 40 K

Gesucht: ΔV

Einsetzen: ΔV = 0,0007 1/K · 250 l · 40 K = 7,0 l

Ergebnis: Das Öl dehnt sich um 7,0 l aus. Der Behälter darf nicht ganz gefüllt werden, oder er braucht einen Ausgleichsraum. Die Ausdehnung des Stahlbehälters selbst ist hier viel kleiner und wird vernachlässigt.

Beispiel: Schrumpfverbindung

Bei einer Schrumpfverbindung wird die Nabe erwärmt, bis die Bohrung weit genug ist, um die Welle einzuschieben. Beim Abkühlen sitzt sie fest.

Gegeben: Bohrung D₀ = 80 mm bei 20 °C, nötige Aufweitung ΔD = 0,10 mm, Stahl mit α = 12 · 10⁻⁶ 1/K

Gesucht: Temperatur der Nabe

Formel umgestellt: ΔT = ΔD / (α · D₀)

Einsetzen: ΔT = 0,10 mm / (12 · 10⁻⁶ 1/K · 80 mm) = 104,2 K

Ergebnis: Die Nabe wird auf 20 °C + 104 K = rund 124 °C erwärmt.

Behinderte Ausdehnung

Kann sich ein Bauteil nicht ausdehnen, weil es fest eingespannt ist, entsteht eine Wärmespannung. Sie lässt sich mit dem Elastizitätsmodul E abschätzen: σ = E · α · ΔT. Für Stahl mit E = 210.000 N/mm² und ΔT = 40 K ergibt das 210.000 N/mm² · 12 · 10⁻⁶ 1/K · 40 K = 100,8 N/mm². Das ist eine hohe Belastung. Wie Spannungen wirken, steht auf der Seite Zug- und Druckbeanspruchung.

Folgen und Maßnahmen im Betrieb

Dehnungsfugen und Kompensatoren nehmen die Längenänderung von Rohrleitungen, Brücken, Schienen und Hallenböden auf.
Loslager lassen Bauteile gleiten, statt sie einzuspannen.
Passungen werden mit Spiel ausgelegt, wenn Teile aus verschiedenen Werkstoffen warm werden.
Bimetall nutzt zwei Metalle mit unterschiedlichem α. Es verbiegt sich bei Erwärmung und schaltet zum Beispiel Thermostate.
Messen: Maße gelten bei der Bezugstemperatur von 20 °C. Ein warmes Werkstück wird deshalb vor der Messung auf diese Temperatur gebracht.

Temperatur messen

Messverfahren	Prinzip
Flüssigkeitsthermometer	Ausdehnung einer Flüssigkeit
Bimetallthermometer	Verbiegen zweier verbundener Metalle
Widerstandsthermometer, zum Beispiel Pt100	Widerstand ändert sich mit der Temperatur
Thermoelement	Thermospannung zweier Metalle
Infrarotthermometer	berührungslos, über die Wärmestrahlung

Typische Fehler

ΔT wird falsch gebildet. Es ist die Differenz aus End- und Anfangstemperatur, nicht die Endtemperatur selbst.
Bei Abkühlung wird das Vorzeichen vergessen. ΔL ist dann negativ, das Bauteil wird kürzer.
Der Koeffizient α wird mit den Zehnerpotenzen falsch eingesetzt. 12 · 10⁻⁶ 1/K sind 0,000012 1/K.
Längen werden in m und mm gemischt. Vor dem Rechnen auf eine Einheit bringen.
Für das Volumen wird α statt γ verwendet. Bei Festkörpern gilt γ ≈ 3 · α.
Das Ergebnis ΔL wird mit der neuen Länge gleichgesetzt. Die Endlänge ist L₀ + ΔL.

Praxisbeispiel

Eine Dampfleitung aus Stahl von 60 m Länge soll in einer Halle neu verlegt werden. Die Monteure wollen sie fest an beiden Enden anschließen.

Der Industriemeister rechnet nach: Zwischen Stillstand mit 20 °C und Betrieb mit 150 °C liegen 130 K. Die Leitung dehnt sich um 12 · 10⁻⁶ 1/K · 60 m · 130 K = 0,0936 m, also rund 94 mm. Bei fester Einspannung würden hohe Spannungen die Anschlüsse beschädigen. Er lässt einen Dehnungsbogen einbauen und die Leitung auf Loslagern führen.

Mit einer kurzen Rechnung vermeidet er einen teuren Schaden.

Typische Prüfungsfragen

In den IHK-Prüfungen können beispielsweise folgende Anforderungen auftreten:

Berechnen Sie die Längenänderung einer Stahlschiene bei gegebener Temperaturänderung.
Ermitteln Sie die Endlänge eines Aluminiumprofils nach Abkühlung.
Bestimmen Sie den Spalt, der zwischen zwei Bauteilen bei Erwärmung eingeplant werden muss.
Berechnen Sie die Volumenänderung einer Flüssigkeit in einem Behälter bei Erwärmung.
Berechnen Sie, auf welche Temperatur ein Ring zum Aufschrumpfen erwärmt werden muss.
Erklären Sie, warum ein Behälter für Flüssigkeiten nicht ganz gefüllt wird.
Nennen Sie drei Maßnahmen, mit denen Wärmeausdehnung im Betrieb aufgefangen wird.
Begründen Sie, warum Werkstücke bei 20 °C gemessen werden.

Fazit

Körper dehnen sich bei Erwärmung aus und ziehen sich bei Abkühlung zusammen. Die Längenänderung berechnest du mit ΔL = α · L₀ · ΔT, die Volumenänderung mit ΔV = γ · V₀ · ΔT. Bei fester Einspannung entstehen Wärmespannungen.

Für die Prüfung solltest du ΔT richtig bilden, den Koeffizienten der Tabelle entnehmen, Einheiten sauber umrechnen und das Ergebnis mit Einheit und passender Bewertung angeben können.

Längen- und Volumenänderung durch Wärme