Normalverteilung

Die Normalverteilung beschreibt, wie Messwerte streuen, wenn viele kleine Zufallseinflüsse zusammenwirken. Das Thema gehört zum Themenbereich Statistische Verfahren im Prüfungsbereich Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten (NTG). Du lernst die Glockenkurve, die drei Standardanteile 68,27 %, 95,45 % und 99,73 % und das Wahrscheinlichkeitsnetz.

Als Industriemeister brauchst du die Normalverteilung, um aus Mittelwert und Standardabweichung vorherzusagen, welcher Anteil der Teile innerhalb einer Toleranz liegt. Das ist die Grundlage für jede Aussage über Ausschuss und Prozessfähigkeit.

📘 Auf einen Blick

Merkmal	Information
Prüfungsteil	Fachrichtungsübergreifende Basisqualifikationen
Prüfungsbereich	Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten (NTG)
Themenbereich	Statistische Verfahren
Thema	Statistische Berechnungen: Funktionen der Normalverteilung und deren Graphen (Rahmenplan 5.4.2)
Prüfungsrelevanz	⭐⭐⭐⭐ Hoch
Datengrundlage	DIHK-Rahmenplan und Auswertung von 37 Originalprüfungen der IHK
Art der Prüfung	Grenzen berechnen, im Wahrscheinlichkeitsnetz zeichnen und ablesen, Anteile bestimmen
Lernziel laut Rahmenplan	Die Funktionen der Normalverteilung und ihre Graphen anwenden: Dichtefunktion, Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsnetz
Empfohlene Lernpriorität	Hoch
Vertiefung	Lernmodul in der KVM-Akademie (nach Veröffentlichung verfügbar)

Warum ist die Normalverteilung wichtig?

Bei gleichen Teilen ist kein Maß exakt gleich. Meist häufen sich die Werte um einen Mittelwert und werden nach beiden Seiten seltener. Diese Verteilung ist die Normalverteilung.

Mit ihr kannst du:

den Bereich angeben, in dem fast alle Teile liegen,
den erwarteten Ausschuss berechnen, bevor er entsteht,
prüfen, ob eine Messreihe überhaupt normalverteilt ist,
Mittelwert und Standardabweichung aus einem Diagramm ablesen.

Darauf bauen die Werte der Seite Regelkarten und Prozessfähigkeit auf.

Einordnung innerhalb des Rahmenlehrplans

Fachrichtungsübergreifende Basisqualifikationen
└── Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten
    └── 5.4 Statistische Verfahren
        └── 5.4.2 Statistische Berechnungen
            ├── Statistische Kennwerte (berechnen)
            └── Funktionen der Normalverteilung und deren Graphen (anwenden)
                ├── Dichtefunktion
                ├── Verteilungsfunktion
                └── Wahrscheinlichkeitsnetz

Der Rahmenplan verlangt hier „anwenden“. Du sollst die Funktionen und ihre Graphen also nicht herleiten, sondern nutzen: zeichnen, ablesen und damit rechnen. Mittelwert und Standardabweichung, die du dafür brauchst, stehen auf der Seite Statistische Kennwerte.

Prüfungsrelevanz

⭐⭐⭐⭐ Hohe Prüfungsrelevanz

Das Thema ist ein Teil des Rahmenplanpunkts 5.4.2. Dieser kam in 34 von 37 ausgewerteten Prüfungen vor, seit 2020 in 10 von 13. Weil er auch die Kennwerte umfasst, gilt die Normalverteilung als Teilthema mit hoher Relevanz. In den letzten Jahren wurde das Wahrscheinlichkeitsnetz häufiger gefragt.

In den ausgewerteten Prüfungen wurde zum Beispiel verlangt,

aus Mittelwert und Standardabweichung die Grenzen für 99,73 % der Werte zu berechnen,
Grenzen für 95,45 % der Werte zu berechnen,
zu prüfen, ob eine Toleranz mit der Streuung eingehalten wird,
die erwartete Zahl fehlerhafter Teile zu berechnen,
in einem Wahrscheinlichkeitsnetz eine Gerade einzuzeichnen und Mittelwert und Standardabweichung abzulesen,
aus dem Wahrscheinlichkeitsnetz den Anteil unterhalb oder oberhalb eines Grenzwerts zu bestimmen,
eine Normalverteilung zu skizzieren und Mittelwert und Grenzen einzutragen.

Zur Prüfungsanalyse NTG

Was lernst du auf dieser Seite?

Nach dem Lesen dieser Seite kannst du:

die Glockenkurve beschreiben und ihre Wendepunkte angeben,
Dichtefunktion und Verteilungsfunktion unterscheiden,
die Anteile 68,27 %, 95,45 % und 99,73 % anwenden,
Grenzen und Ausschussanteile berechnen,
ein Wahrscheinlichkeitsnetz anlegen, eine Gerade einzeichnen und ablesen,
erkennen, wann Daten nicht normalverteilt sind.

Die Glockenkurve

Trägst du die Häufigkeit normalverteilter Werte über dem Messwert auf, entsteht die Glockenkurve, auch Gauß-Kurve genannt. Zwei Kennwerte legen sie fest.

Mittelwert μ (sprich „mü“): Er bestimmt die Lage. An dieser Stelle liegt der höchste Punkt der Kurve. Links und rechts davon ist die Kurve spiegelgleich.
Standardabweichung σ (sprich „sigma“): Sie bestimmt die Breite. Ist σ klein, ist die Kurve schmal und hoch. Ist σ groß, ist sie breit und flach.

Für eine ganze Grundgesamtheit schreibt man μ und σ. Aus einer Stichprobe schätzt man sie mit x̄ und s. In Aufgaben begegnen dir beide Schreibweisen.

Wichtige Eigenschaften:

Die Kurve ist symmetrisch. Mittelwert, Median und Modalwert fallen zusammen.
Die Fläche unter der gesamten Kurve entspricht 100 % aller Werte.
Die Wendepunkte liegen bei μ − σ und μ + σ. Dort ändert sich die Krümmung von nach unten gewölbt zu nach oben gewölbt.
Die Kurve nähert sich der Rechtsachse, erreicht sie aber nie. Sehr große Abweichungen sind selten, aber nicht unmöglich.

Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

Die Dichtefunktion f(x) liefert die Glockenkurve. Sie lautet:

f(x) = 1 : (σ · Wurzel aus 2π) · e hoch (−(x − μ)² : (2σ²))

Wichtig ist, was die Formel bedeutet: Der Funktionswert gibt an, wie dicht die Werte an der Stelle x liegen. Der Anteil der Werte zwischen zwei Grenzen ist die Fläche unter der Kurve zwischen diesen Grenzen. Die höchste Stelle liegt bei μ und hat den Wert 0,399 : σ.

Die Verteilungsfunktion F(x) summiert die Dichte auf. Sie gibt an, welcher Anteil aller Werte kleiner oder gleich x ist. Ihr Graph ist eine S-förmige Kurve, die von 0 % bis 100 % ansteigt.

Stelle x	Anteil der Werte bis x (Verteilungsfunktion)
μ − σ	15,87 %
μ	50,00 %
μ + σ	84,13 %

Der Wert 50 % bei μ folgt aus der Symmetrie. Die Werte bei μ ± σ brauchst du, um die Standardabweichung im Wahrscheinlichkeitsnetz abzulesen.

Die drei Standardanteile

Die Anteile der Werte um den Mittelwert sind für jede Normalverteilung gleich. Sie hängen nur von Vielfachen der Standardabweichung ab.

Bereich	Anteil innerhalb	Anteil außerhalb
μ ± 1 · σ	68,27 %	31,73 %
μ ± 2 · σ	95,45 %	4,55 %
μ ± 3 · σ	99,73 %	0,27 %

Der Bereich μ ± 3σ heißt Streubereich oder Prozessstreubereich. Seine Breite von 6σ steht für die natürliche Streuung eines Prozesses. Für genau 95 % gilt der Faktor 1,96, für 99 % der Faktor 2,58. In Prüfungsaufgaben sind meist die Werte 95,45 % und 99,73 % gemeint, denn sie gehören zu den ganzzahligen Faktoren 2 und 3.

Anteile außerhalb beliebiger Grenzen

Liegt eine Grenze nicht genau bei einem ganzzahligen Vielfachen von σ, rechnest du in zwei Schritten.

Standardisieren: Du berechnest, wie viele Standardabweichungen die Grenze vom Mittelwert entfernt ist. z = (x − μ) : σ
Anteil ablesen: In einer Tabelle der Standardnormalverteilung steht zu z der Anteil der Werte bis zu dieser Grenze.

Für z = 1,6 steht dort 0,9452. Also liegen 94,52 % der Werte unterhalb von μ + 1,6σ und wegen der Symmetrie 100 % − 94,52 % = 5,48 % unterhalb von μ − 1,6σ.

Das Wahrscheinlichkeitsnetz

Das Wahrscheinlichkeitsnetz ist ein Diagrammpapier, auf dem eine Normalverteilung zur Geraden wird. Daran erkennst du, ob Messwerte normalverteilt sind, und liest Mittelwert, Standardabweichung und Anteile ab.

Aufbau:

Die Rechtsachse zeigt den Merkmalswert mit gleichmäßiger Teilung.
Die Hochachse zeigt die Summenhäufigkeit in Prozent mit ungleichmäßiger Teilung. Sie ist zu den Rändern hin gedehnt. Die Werte 0 % und 100 % kommen nicht vor, denn die Kurve erreicht sie nie.

Vorgehen:

Die Messwerte in Klassen einteilen und auszählen.
Die Summenhäufigkeit in Prozent bis zur oberen Klassengrenze berechnen.
Für jede obere Klassengrenze einen Punkt eintragen.
Durch die Punkte eine Ausgleichsgerade legen.
An der Geraden ablesen.

So liest du ab:

Gesuchte Größe	Ablesen
Mittelwert	Wert der Geraden bei 50 %
Standardabweichung	Wert bei 84,13 % minus Wert bei 50 % (alternativ Wert bei 50 % minus Wert bei 15,87 %)
Anteil unter einem Grenzwert	Von der Grenze auf der Rechtsachse nach oben bis zur Geraden, dann nach links zur Hochachse
Anteil über einem Grenzwert	100 % minus den abgelesenen Anteil darunter
Streubereich 99,73 %	Werte der Geraden bei 0,135 % und 99,865 %

Liegen die Punkte nicht annähernd auf einer Geraden, sind die Daten nicht normalverteilt. Dann darfst du die Anteile der Standardnormalverteilung nicht verwenden.

Beispiel: Grenzen und Ausschussanteil berechnen

Bolzen werden auf die Länge 80,00 mm gefertigt. Eine Stichprobe liefert einen Mittelwert von 80,00 mm und eine Standardabweichung von 0,05 mm. Die Länge ist normalverteilt. Die Toleranz beträgt 79,90 mm bis 80,10 mm. Es werden 4.000 Bolzen gefertigt.

Gegeben: μ = 80,00 mm, σ = 0,05 mm, Toleranz 79,90 mm bis 80,10 mm, 4.000 Bolzen

Gesucht: a) Streubereich für 99,73 % der Bolzen, b) Ausschussanteil und Ausschusszahl, c) Anteil der Bolzen kürzer als 79,92 mm

a) Streubereich: μ ± 3σ = 80,00 mm ± 3 · 0,05 mm = 80,00 mm ± 0,15 mm. Der Bereich reicht von 79,85 mm bis 80,15 mm. Er ist breiter als die Toleranz, es entsteht also Ausschuss.

b) Ausschuss: Die Grenzen liegen bei 80,00 mm ± 0,10 mm = μ ± 2σ. Innerhalb liegen 95,45 %. Außerhalb liegen 100 % − 95,45 % = 4,55 %. Bei 4.000 Bolzen sind das 4.000 · 0,0455 = 182 Bolzen.

c) Anteil unter 79,92 mm: z = (79,92 mm − 80,00 mm) : 0,05 mm = −1,6. Nach der Tabelle liegen 5,48 % der Bolzen darunter. Das sind etwa 219 von 4.000 Bolzen (gerundet).

Am Wahrscheinlichkeitsnetz würdest du dieselben Werte so ablesen: Die Gerade schneidet die 50 %-Linie bei 80,00 mm und die 84 %-Linie bei 80,05 mm. Der Abstand ergibt die Standardabweichung 0,05 mm.

Typische Fehler

Das Wahrscheinlichkeitsnetz wird wie normales Millimeterpapier gelesen, obwohl die Hochachse ungleichmäßig geteilt ist.
Die Standardabweichung wird im Wahrscheinlichkeitsnetz als Abstand zu einem falschen Prozentwert abgelesen. Richtig sind 50 % und 84,13 %.
Die Anteile 68,27 %, 95,45 % und 99,73 % werden den falschen Faktoren zugeordnet.
Bei einseitigen Fragen wird der Anteil außerhalb beider Seiten genommen, statt ihn zu halbieren oder aus der Tabelle zu bestimmen.
Die Wendepunkte werden bei μ ± 2σ eingezeichnet. Sie liegen bei μ ± σ.
Die Normalverteilung wird ohne Prüfung angenommen. Vorher sollte die Punktwolke auf einer Geraden liegen.

Praxisbeispiel

Eine Abfüllanlage füllt Beutel mit 500 g Inhalt. Der Industriemeister lässt 100 Beutel nachwiegen und trägt die Summenhäufigkeiten ins Wahrscheinlichkeitsnetz ein. Die Punkte liegen gut auf einer Geraden, die Verteilung ist also normal.

An der Geraden liest er ab, dass der Mittelwert etwas unter 500 g liegt. Der Anteil der Beutel unter dem zulässigen Mindestgewicht ist zu groß. Er lässt den Sollwert der Anlage nach oben nachstellen. Bei der nächsten Stichprobe ist die Gerade nach rechts gewandert, und der Anteil zu leichter Beutel sinkt.

Typische Prüfungsfragen

In den IHK-Prüfungen können beispielsweise folgende Anforderungen auftreten:

Berechnen Sie die Grenzen, innerhalb derer 99,73 % der Werte liegen.
Berechnen Sie die Grenzen für 95,45 % der Werte.
Prüfen Sie, ob die Toleranz mit der Prozessstreuung eingehalten wird.
Berechnen Sie die Zahl der fehlerhaften Teile bei gegebener Gesamtmenge.
Zeichnen Sie die Verteilungsgerade in das Wahrscheinlichkeitsnetz ein.
Lesen Sie Mittelwert und Standardabweichung aus dem Wahrscheinlichkeitsnetz ab.
Bestimmen Sie aus dem Netz den Anteil der Werte unterhalb und oberhalb eines Grenzwerts.
Skizzieren Sie die Normalverteilung und tragen Sie Mittelwert, Wendepunkte und Grenzen ein.

Fazit

Die Normalverteilung ist eine symmetrische Glockenkurve, die durch den Mittelwert und die Standardabweichung festgelegt ist. Innerhalb von μ ± σ liegen 68,27 % der Werte, innerhalb von μ ± 2σ 95,45 % und innerhalb von μ ± 3σ 99,73 %. Im Wahrscheinlichkeitsnetz wird sie zur Geraden.

Für die Prüfung solltest du die drei Anteile sicher kennen, daraus Grenzen und Ausschuss berechnen und im Wahrscheinlichkeitsnetz eine Gerade einzeichnen und ablesen können.