Statistische Kennwerte

Statistische Kennwerte fassen eine lange Reihe von Werten in wenigen Zahlen zusammen. Du lernst hier den Mittelwert, den Median, den Modalwert, die Spannweite und die Standardabweichung. Das Thema gehört zum Themenbereich Statistische Verfahren im Prüfungsbereich Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten (NTG).

Als Industriemeister beurteilst du ständig Messreihen: Maße aus der Fertigung, Taktzeiten, Fehlzeiten. Zwei Zahlen reichen oft aus, um eine Reihe zu beschreiben. Eine sagt, wo die Werte liegen, die andere, wie stark sie schwanken. Genau das verlangt die Prüfung, und fast immer als Rechenaufgabe.

📘 Auf einen Blick

Merkmal	Information
Prüfungsteil	Fachrichtungsübergreifende Basisqualifikationen
Prüfungsbereich	Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten (NTG)
Themenbereich	Statistische Verfahren
Thema	Statistische Berechnungen: statistische Kennwerte (Rahmenplan 5.4.2)
Prüfungsrelevanz	⭐⭐⭐⭐⭐ Sehr hoch
Datengrundlage	DIHK-Rahmenplan und Auswertung von 37 Originalprüfungen der IHK
Art der Prüfung	Berechnen mit Formelsammlung
Lernziel laut Rahmenplan	Statistische Kennwerte berechnen: arithmetischen Mittelwert, Median, Modalwert, Spannweite und Standardabweichung
Empfohlene Lernpriorität	Sehr hoch
Vertiefung	Lernmodul in der KVM-Akademie (nach Veröffentlichung verfügbar)

Warum sind statistische Kennwerte wichtig?

Eine Messreihe mit 50 Werten kann niemand im Kopf behalten. Ein Mittelwert und eine Standardabweichung dagegen schon. Mit diesen statistischen Kennwerten kannst du:

zwei Schichten, zwei Maschinen oder zwei Lieferanten vergleichen,
erkennen, ob ein Prozess auf dem Sollwert liegt,
beurteilen, wie stark ein Prozess streut,
die Grenzen berechnen, in denen fast alle Werte liegen.

Der letzte Punkt führt zur Normalverteilung und zur Prozessfähigkeit. Beide bauen auf den Kennwerten dieser Seite auf.

Einordnung innerhalb des Rahmenlehrplans

Fachrichtungsübergreifende Basisqualifikationen
└── Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten
    └── 5.4 Statistische Verfahren
        └── 5.4.2 Statistische Berechnungen
            ├── Statistische Kennwerte (berechnen)
            │   ├── Arithmetischer Mittelwert
            │   ├── Median
            │   ├── Modalwert
            │   ├── Spannweite
            │   └── Standardabweichung
            └── Funktionen der Normalverteilung (anwenden)

Der Rahmenpunkt 5.4.2 hat zwei Teile. Diese Seite behandelt den ersten, die Kennwerte. Der zweite Teil steht auf der Seite Normalverteilung. Die Aufbereitung der Daten davor erklärt die Seite Daten erheben und darstellen.

Prüfungsrelevanz

⭐⭐⭐⭐⭐ Sehr hohe Prüfungsrelevanz

Das Thema gehört zum Rahmenplanpunkt 5.4.2. Dieser kam in 34 von 37 ausgewerteten Prüfungen vor, seit 2020 in 10 von 13. Er bringt in der Regel mehrere Teilaufgaben mit zusammen etwa zehn Punkten. Die Kennwerte stecken fast immer als erste Teilaufgaben in der Statistikaufgabe.

In den ausgewerteten Prüfungen wurde zum Beispiel verlangt,

aus einer Messreihe den arithmetischen Mittelwert zu berechnen,
die Spannweite einer Stichprobe zu bestimmen,
den Median zu ermitteln, auch aus einer Häufigkeitstabelle,
den Modalwert abzulesen,
die Standardabweichung zu berechnen,
zu begründen, warum sich ein Median auch ohne die Urliste angeben lässt.

Zur Prüfungsanalyse NTG

Was lernst du auf dieser Seite?

Nach dem Lesen dieser Seite kannst du:

Lagemaße und Streuungsmaße unterscheiden,
den Mittelwert aus einer Urliste und aus einer Häufigkeitstabelle berechnen,
den Median bei gerader und ungerader Anzahl bestimmen,
Modalwert und Spannweite angeben,
die Standardabweichung mit der Stichprobenformel berechnen,
erklären, wann Mittelwert und Median verschieden aussagen.

Lagemaße und Streuungsmaße

Die fünf Kennwerte gehören zu zwei Gruppen.

Gruppe	Frage	Kennwerte
Lagemaße	Wo liegen die Werte?	Mittelwert, Median, Modalwert
Streuungsmaße	Wie weit streuen die Werte?	Spannweite, Standardabweichung

Zwei Reihen können denselben Mittelwert haben und trotzdem sehr verschieden sein. Deshalb brauchst du immer ein Lagemaß und ein Streuungsmaß zusammen.

Die fünf Kennwerte im Überblick

Kennwert	Formelzeichen	Berechnung
Arithmetischer Mittelwert	x̄	(x₁ + x₂ + … + xₙ) : n
Median (Zentralwert)	x̃	mittlerer Wert der geordneten Reihe
Modalwert	kein einheitliches Zeichen	häufigster Wert
Spannweite	R	größter Wert minus kleinster Wert
Standardabweichung	s	Wurzel aus der Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, geteilt durch n − 1

Mittelwert

Du addierst alle Werte und teilst durch ihre Anzahl n. Liegt eine Häufigkeitstabelle vor, multiplizierst du jeden Wert mit seiner Häufigkeit h, addierst die Produkte und teilst durch n.

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) : n

Der Mittelwert nutzt alle Werte. Deshalb reagiert er auf Ausreißer.

Median

Du ordnest die Werte nach der Größe. Bei ungerader Anzahl ist der Median der mittlere Wert. Bei gerader Anzahl bildest du den Mittelwert der beiden mittleren Werte. Der Median halbiert die Reihe: Die eine Hälfte der Werte liegt darunter, die andere darüber. Er ändert sich kaum, wenn ein Ausreißer dazukommt.

Modalwert

Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Kommen zwei Werte gleich oft am häufigsten vor, gibt es zwei Modalwerte. Kommt jeder Wert nur einmal vor, gibt es keinen sinnvollen Modalwert.

Spannweite

Die Spannweite R ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Sie ist schnell berechnet, zeigt aber nur die beiden äußersten Werte und sagt nichts über die Werte dazwischen.

Standardabweichung

Die Standardabweichung s misst, wie weit die Werte im Mittel vom Mittelwert entfernt liegen. Sie hat dieselbe Einheit wie die Messwerte. Der Rechenweg hat vier Schritte:

Mittelwert x̄ bestimmen.
Für jeden Wert die Abweichung xᵢ − x̄ bilden.
Jede Abweichung quadrieren und alle Quadrate addieren.
Die Summe durch n − 1 teilen und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen.

s = Wurzel aus [ ((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) : (n − 1) ]

Das Quadrat der Standardabweichung heißt Varianz s². Bei einer Stichprobe teilst du durch n − 1, nicht durch n. Mit n würdest du die Streuung der Grundgesamtheit unterschätzen. In den ausgewerteten Prüfungen wird bei Stichproben mit n − 1 gerechnet. Der Taschenrechner mit Statistikfunktion liefert beide Werte. Achte darauf, den richtigen abzulesen. Er ist je nach Modell mit s oder σₙ₋₁ beschriftet, der Wert mit n steht meist als σₙ.

Beispiel: Kennwerte einer Messreihe

Von acht gedrehten Wellen wurde der Durchmesser gemessen. Die Werte in mm, bereits der Größe nach geordnet:

19,97 / 19,99 / 20,00 / 20,00 / 20,01 / 20,02 / 20,04 / 20,05

Gegeben: n = 8 Messwerte (Stichprobe)

Gesucht: Mittelwert, Median, Modalwert, Spannweite, Standardabweichung

Mittelwert: x̄ = (19,97 + 19,99 + 20,00 + 20,00 + 20,01 + 20,02 + 20,04 + 20,05) mm : 8 = 160,08 mm : 8 = 20,01 mm

Median: n = 8 ist gerade, also zählt der Mittelwert des 4. und 5. Werts: x̃ = (20,00 mm + 20,01 mm) : 2 = 20,005 mm

Modalwert: 20,00 mm kommt zweimal vor, alle anderen Werte nur einmal: Modalwert = 20,00 mm

Spannweite: R = 20,05 mm − 19,97 mm = 0,08 mm

Standardabweichung: Zuerst die Abweichungen und ihre Quadrate.

Wert x in mm	Abweichung x − x̄ in mm	Quadrat (x − x̄)² in mm²
19,97	−0,04	0,0016
19,99	−0,02	0,0004
20,00	−0,01	0,0001
20,00	−0,01	0,0001
20,01	0,00	0,0000
20,02	0,01	0,0001
20,04	0,03	0,0009
20,05	0,04	0,0016
Summe	0,00	0,0048

Die Abweichungen ergeben zusammen null. Das ist die Probe auf den Mittelwert.

Einsetzen: s = Wurzel aus (0,0048 mm² : (8 − 1)) = Wurzel aus 0,000686 mm² = 0,026 mm (gerundet auf drei Stellen)

Die Werte liegen also im Mittel etwa 0,026 mm um den Mittelwert 20,01 mm.

Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle

Auf 20 Paletten wurden die Verpackungsfehler gezählt.

Fehler je Palette	0	1	2	3	4
Zahl der Paletten	3	7	6	3	1

Mittelwert: (0 · 3 + 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 3 + 4 · 1) : 20 = 32 : 20 = 1,6 Fehler je Palette. Modalwert: 1, denn dieser Wert kommt siebenmal vor. Median: Der 10. Wert ist 1, der 11. Wert ist 2. Der Median ist also (1 + 2) : 2 = 1,5. Spannweite: 4 − 0 = 4.

Mittelwert oder Median?

Angenommen, bei der Messung der Wellen wäre statt 20,05 mm ein Wert von 20,50 mm aufgeschrieben worden, etwa wegen eines Messfehlers. Dann steigt der Mittelwert von 20,01 mm auf 20,066 mm. Der Median bleibt bei 20,005 mm. Die Spannweite wächst von 0,08 mm auf 0,53 mm.

Der Median beschreibt die typische Lage deshalb besser, wenn einzelne Ausreißer auftreten. Der Mittelwert ist dagegen die Grundlage für die Standardabweichung und für die Normalverteilung.

Typische Fehler

Lagemaße und Streuungsmaße werden verwechselt. Die Spannweite sagt nichts über die Lage, der Mittelwert nichts über die Streuung.
Der Median wird aus der ungeordneten Urliste abgelesen.
Bei gerader Anzahl wird nur einer der beiden mittleren Werte genommen.
Die Standardabweichung wird mit n statt mit n − 1 berechnet.
Beim Quadrieren der Abweichungen gehen die Vorzeichen verloren, oder die Summe der Quadrate wird mit der Summe der Abweichungen verwechselt.
Die Wurzel wird vergessen, sodass die Varianz herauskommt statt der Standardabweichung.
Die Einheit fehlt oder ist falsch. Die Standardabweichung hat die Einheit der Messwerte, die Varianz deren Quadrat.
Der Modalwert wird mit der größten Häufigkeit verwechselt. Gesucht ist der Wert, nicht die Anzahl.

Praxisbeispiel

Zwei Schichten fertigen dasselbe Drehteil. Bei beiden liegt der Mittelwert des Durchmessers bei 20,01 mm. Der Industriemeister schaut sich zusätzlich die Standardabweichung an. Sie beträgt in der Frühschicht 0,026 mm und in der Spätschicht 0,052 mm.

Die Spätschicht fertigt also im Mittel genauso gut, aber doppelt so ungleichmäßig. Er lässt Werkzeugaufnahme, Spannmittel und Einstellung prüfen. Ein Blick nur auf den Mittelwert hätte das Problem verdeckt.

Typische Prüfungsfragen

In den IHK-Prüfungen können beispielsweise folgende Anforderungen auftreten:

Nennen Sie zwei Lagemaße und zwei Streuungsmaße einer Messreihe.
Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert der angegebenen Messreihe.
Ermitteln Sie den Median der Messwerte und geben Sie an, wie Sie vorgegangen sind.
Bestimmen Sie den Modalwert und die Spannweite der Stichprobe.
Berechnen Sie die Standardabweichung der Stichprobe.
Berechnen Sie den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
Begründen Sie, warum sich der Median einer Reihe auch ohne die Urliste angeben lässt.
Erläutern Sie, warum Mittelwert und Median sich unterscheiden können.
Beurteilen Sie anhand von Mittelwert und Standardabweichung, welche von zwei Maschinen gleichmäßiger fertigt.

Fazit

Statistische Kennwerte verdichten viele Werte auf wenige Zahlen. Lagemaße sagen, wo die Werte liegen, Streuungsmaße, wie weit sie auseinanderliegen. Mittelwert, Median und Modalwert beschreiben die Lage, Spannweite und Standardabweichung die Streuung. Die Standardabweichung berechnest du bei einer Stichprobe mit n − 1.

Für die Prüfung solltest du alle fünf Kennwerte aus einer Messreihe und aus einer Häufigkeitstabelle berechnen, den Rechenweg mit Einheit aufschreiben und Mittelwert und Median richtig deuten können.