Zug- und Druckbeanspruchung

Die Zug- und Druckbeanspruchung ist die einfachste Belastungsart im Maschinenbau. Eine Kraft zieht ein Bauteil auseinander oder drückt es zusammen. Das Thema gehört zum Rahmenplanpunkt 5.3.3 im Themenbereich Betriebs- und fertigungstechnische Größen berechnen.

Die Frage dahinter ist immer dieselbe: Hält das Bauteil die Kraft aus? Um sie zu beantworten, rechnest du die Kraft auf den Querschnitt um und vergleichst das Ergebnis mit dem, was der Werkstoff verträgt.

📘 Auf einen Blick

Merkmal	Information
Prüfungsteil	Fachrichtungsübergreifende Basisqualifikationen
Prüfungsbereich	Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten (NTG)
Themenbereich	Betriebs- und fertigungstechnische Größen berechnen
Thema	Zug- und Druckbeanspruchung (Rahmenplan 5.3.3)
Prüfungsrelevanz	⭐⭐⭐ Mittel
Datengrundlage	DIHK-Rahmenplan und Auswertung von 37 Originalprüfungen der IHK
Art der Prüfung	Berechnen mit Formelsammlung: Zugspannung, erforderlicher Querschnitt, zulässige Spannung, Sicherheitszahl
Lernziel laut Rahmenplan	Zug- und Druckspannung sowie zulässige Spannung und Sicherheitszahl berechnen und die verformende Wirkung der Kraft einschätzen
Empfohlene Lernpriorität	Mittel
Vertiefung	Lernmodul in der KVM-Akademie (nach Veröffentlichung verfügbar)

Warum ist die Zug- und Druckbeanspruchung wichtig?

Seile, Ketten, Zugstangen, Schrauben und Stützen sind täglich im Einsatz. Fällt eines davon aus, sind die Folgen oft schwer. Ob ein Bauteil die Last trägt, entscheidet nicht die Kraft allein, sondern die Kraft bezogen auf den Querschnitt. Ein dünner Stab bricht, wo ein dicker die gleiche Last problemlos trägt.

Für den Industriemeister ist die Rechnung ein Prüfwerkzeug. Er kann damit beurteilen, ob ein vorhandenes Teil für eine neue Last reicht, und er versteht die Angaben des Konstrukteurs, wie Querschnitt und Sicherheitszahl.

Einordnung innerhalb des Rahmenlehrplans

Basisqualifikation
└── Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten (NTG)
    └── 5.3 Berechnen betriebs- und fertigungstechnischer Größen bei Belastungen und Bewegungen
        └── 5.3.3 Zug, Druck, Torsion, Biegung, Abscherung und Flächenpressung
            ├── Verformende Wirkung der Kraft
            ├── Zugspannung, Druckspannung
            └── Zulässige Spannung, Sicherheitszahl

Der Rahmenplan nennt unter 5.3.3 sechs Belastungsarten. Diese Seite behandelt Zug und Druck mit den Begriffen zulässige Spannung und Sicherheitszahl. Die Seiten Abscherung und Flächenpressung und Torsion und Biegung übertragen dasselbe Prinzip auf weitere Belastungsarten.

Prüfungsrelevanz

⭐⭐⭐ Mittlere Prüfungsrelevanz

Das Thema gehört zum Rahmenplanpunkt 5.3.3 (Zug, Druck, Torsion, Biegung, Abscherung und Flächenpressung). Dieser kam in 20 von 37 Prüfungen vor, seit 2020 in 6 von 13. Am häufigsten wurde dabei die Zugspannung berechnet.

In den ausgewerteten Prüfungen wurde zum Beispiel verlangt,

die Zugspannung in einem Profil oder Stab aus Kraft und Querschnitt zu berechnen,
bei einem Bauteil mit Bohrung den geschwächten Querschnitt zu berücksichtigen,
den erforderlichen Querschnitt einer Zugstange oder eines Seils zu bestimmen,
aus einer zulässigen Spannung und der Sicherheit die Anzahl von Drähten zu ermitteln,
die Sicherheitszahl nachzuweisen,
die Masse eines Profils aus Querschnitt, Länge und Dichte zu berechnen.

Zur Prüfungsanalyse NTG

Was lernst du auf dieser Seite?

Nach dem Lesen dieser Seite kannst du:

Zug- und Druckbeanspruchung unterscheiden,
die Spannung aus Kraft und Querschnitt berechnen,
Querschnittsflächen einfacher Profile bestimmen, auch mit Bohrung,
zulässige Spannung und Sicherheitszahl anwenden,
den erforderlichen Querschnitt berechnen,
die Verlängerung eines Stabes abschätzen.

Belastungsarten und verformende Wirkung der Kraft

Jede äußere Kraft verformt ein Bauteil. Bei kleinen Kräften verformt es sich elastisch: Es federt nach dem Entlasten in die alte Form zurück. Wird die Spannung zu groß, bleibt eine plastische Verformung zurück. Bei noch größerer Kraft bricht das Bauteil. Der Konstrukteur wählt den Querschnitt so, dass das Bauteil im elastischen Bereich bleibt.

Bei Zug ziehen zwei Kräfte entlang der Stabachse nach außen, der Stab wird länger. Bei Druck wirken sie nach innen, der Stab wird kürzer. Bei langen, schlanken Stäben tritt unter Druck zusätzlich Knicken auf. Das ist ein eigenes Thema und nicht Teil dieser Rechnungen.

Spannung berechnen

Die Spannung gibt an, wie stark der Werkstoff belastet ist. Sie ist die Kraft je Querschnittsfläche:

σ = F / A

Dabei ist F die Kraft in N und A die Querschnittsfläche in mm². Das Ergebnis hat die Einheit N/mm². Das Formelzeichen σ (sigma) steht für eine Spannung, die senkrecht zur Fläche wirkt. Bei Zug heißt sie Zugspannung σ_z, bei Druck Druckspannung σ_d. Es gilt 1 N/mm² = 1 MPa.

Rechne die Querschnittsfläche in mm² und die Kraft in N. Eine Kraft in kN muss mit 1.000 multipliziert werden.

Querschnitt	Fläche A
Rechteck (Breite b, Dicke t)	b · t
Vollkreis (Durchmesser d)	π · d² / 4
Kreisring (Außen- D, Innendurchmesser d)	π · (D² − d²) / 4
Flachstab mit Bohrung (Bohrungsdurchmesser d)	(b − d) · t
Seil aus n Drähten (Drahtdurchmesser d)	n · π · d² / 4

Bei Bauteilen mit Bohrung gilt die kleinste Fläche. Dort ist die Spannung am größten. Für die Beispielrechnung eines Flachstabs: b = 40 mm, t = 6 mm, Bohrung d = 10 mm, Zugkraft 20 kN. Die Restfläche beträgt (40 mm − 10 mm) · 6 mm = 180 mm². Die Zugspannung ist 20.000 N / 180 mm² = 111,1 N/mm².

Dehnung und Verlängerung

Die Verlängerung Δl eines Stabes der Länge l hängt von der Spannung und vom Werkstoff ab. Die bezogene Verlängerung heißt Dehnung:

ε = Δl / l

Im elastischen Bereich gilt das Hookesche Gesetz: σ = E · ε. E ist der Elastizitätsmodul. Er beträgt für Stahl etwa 210.000 N/mm² (Wert aus der Formelsammlung). Damit gilt für die Verlängerung Δl = σ · l / E.

Ein Stahlstab mit σ = 110 N/mm² und l = 1.500 mm verlängert sich um Δl = 110 N/mm² · 1.500 mm / 210.000 N/mm² = 0,79 mm.

Zulässige Spannung und Sicherheitszahl

Man belastet ein Bauteil nie bis an die Grenze des Werkstoffs. Die Grenze ist bei zähem Stahl die Streckgrenze R_e, bei der die plastische Verformung beginnt. Bei sprödem Werkstoff ist es die Zugfestigkeit R_m, bei der das Bauteil bricht. Die Werte stehen in der Formelsammlung bzw. Tabelle der Aufgabe.

Zwischen Grenze und tatsächlicher Belastung liegt ein Abstand, die Sicherheitszahl S (S > 1):

σ_zul = R_e / S (bei sprödem Werkstoff R_m / S)

Die zulässige Spannung σ_zul ist der Höchstwert, den die berechnete Spannung nicht überschreiten darf. Wie groß S sein muss, hängt von der Art der Belastung und vom Risiko ab. In der Aufgabe ist S vorgegeben.

Daraus ergeben sich drei Rechnungen:

Aufgabe	Formel
Nachweis	σ = F / A ≤ σ_zul
erforderlicher Querschnitt	A_erf = F / σ_zul
vorhandene Sicherheit	S = R_e / σ

Rechenbeispiel: Zugstange auslegen

Eine runde Zugstange aus Stahl mit der Streckgrenze 235 N/mm² soll eine Zugkraft von 38 kN aufnehmen. Gefordert ist eine Sicherheitszahl von 2,0.

Gegeben: F = 38 kN = 38.000 N, R_e = 235 N/mm², S = 2,0, Länge l = 1.500 mm, E = 210.000 N/mm²

Gesucht: a) erforderlicher Durchmesser, b) Nachweis mit einem aufgerundeten Durchmesser von 21 mm, c) Verlängerung

Formeln: σ_zul = R_e / S, A_erf = F / σ_zul, A = π · d² / 4, Δl = σ · l / E

Einsetzen und Rechnen:

Zulässige Spannung: σ_zul = 235 N/mm² / 2,0 = 117,5 N/mm²
Erforderliche Fläche: A_erf = 38.000 N / 117,5 N/mm² = 323,4 mm²
Erforderlicher Durchmesser: d = √(4 · A_erf / π) = √(4 · 323,4 / π) mm = 20,3 mm
Gewählt 21 mm: A = π · (21 mm)² / 4 = 346,4 mm², σ = 38.000 N / 346,4 mm² = 109,7 N/mm²
Nachweis: 109,7 N/mm² ≤ 117,5 N/mm². Die tatsächliche Sicherheit ist 235 / 109,7 = 2,14.
Verlängerung: Δl = 109,7 N/mm² · 1.500 mm / 210.000 N/mm² = 0,78 mm

Ergebnis: Der Durchmesser muss mindestens 20,3 mm betragen. Mit 21 mm ist die Stange ausreichend bemessen, die Sicherheit liegt bei 2,14 (gerundet), die Verlängerung bei 0,78 mm.

Typische Fehler

Die Kraft bleibt in kN, die Fläche in mm². Das Ergebnis ist dann um den Faktor 1.000 falsch.
Bei der Bohrung wird die volle Fläche statt der Restfläche genommen.
Durchmesser und Radius werden verwechselt, oder der Faktor ¼ in π · d² / 4 fehlt.
Der Durchmesser wird nach dem Umstellen nicht aufgerundet. Abrunden würde den Querschnitt unter den erforderlichen Wert bringen.
Die Sicherheitszahl wird multipliziert statt dividiert. Die zulässige Spannung ist immer kleiner als die Grenze.
Streckgrenze und Zugfestigkeit werden verwechselt.

Praxisbeispiel

Als Stütze unter einer Werkbühne dient ein Rohr mit 60 mm Außen- und 52 mm Innendurchmesser. Es trägt 45 kN Druckkraft.

Die Fläche beträgt A = π · (60² − 52²) mm² / 4 = 703,7 mm², die Druckspannung σ_d = 45.000 N / 703,7 mm² = 63,9 N/mm². Der Industriemeister vergleicht diesen Wert mit der zulässigen Spannung des Werkstoffs und mit der geforderten Sicherheit. Ist die Stütze lang und schlank, beurteilt der Konstrukteur zusätzlich die Knickgefahr.

Typische Prüfungsfragen

In den IHK-Prüfungen können beispielsweise folgende Anforderungen auftreten:

Berechnen Sie die Zugspannung in einem Profil bei gegebener Zugkraft und gegebenem Querschnitt.
Ermitteln Sie die Zugspannung in einem Flachstab, der eine Bohrung enthält.
Bestimmen Sie den erforderlichen Durchmesser einer Zugstange bei gegebener zulässiger Spannung.
Berechnen Sie die zulässige Spannung aus Streckgrenze und Sicherheitszahl.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass die geforderte Sicherheit eingehalten wird.
Ermitteln Sie die Anzahl der Drähte eines Seils, die für eine gegebene Zugkraft nötig ist.
Erläutern Sie den Unterschied zwischen elastischer und plastischer Verformung.

Fazit

Die Spannung ist Kraft durch Querschnittsfläche. Sie darf die zulässige Spannung nicht überschreiten, und die zulässige Spannung ist die Grenze des Werkstoffs geteilt durch die Sicherheitszahl. Daraus lassen sich Spannung, erforderlicher Querschnitt und Sicherheit berechnen.

Für die Prüfung solltest du die Einheiten N und mm² sicher führen, die Fläche passend zum Profil bestimmen, bei Bohrungen die Restfläche nehmen und Gegeben, Gesucht, Formel, Einsetzen und Ergebnis mit Einheit hinschreiben.